一、集合与常用逻辑用语

1. 集合运算公式

并集：A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}A\cup B=\{x\mid x\in A \text{ 或 } x\in B\}

交集：A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}A\cap B=\{x\mid x\in A \text{ 且 } x\in B\}

补集：∁UA={x∣x∈U 且 x∉A}\complement_{U}A=\{x\mid x\in U \text{ 且 } x\notin A\}

集合元素个数公式：card(A∪B)=card(A)+card(B)−card(A∩B)\text{card}(A\cup B)=\text{card}(A)+\text{card}(B)-\text{card}(A\cap B)

2. 充分必要条件

若p⇒qp\Rightarrow q，pp 是 qq的充分条件，qq是pp的必要条件

若p⇔qp\Leftrightarrow q，则pp、qq互为充要条件

二、一元二次函数、方程与不等式

1. 一元二次方程求根公式

ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2+bx+c=0(a\neq0)

求根公式：x=−b±b2−4ac2ax = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

判别式：Δ=b2−4ac\Delta=b^2-4ac

2. 韦达定理

x1+x2=−ba,x1x2=cax_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}

3. 基本不等式

均值不等式：ab≤a+b2(a,b≥0)\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}(a,b\geq0)

常用变形：a+b≥2ab（当且仅当a=b取等号）a+b\geq2\sqrt{ab} （当且仅当 a=b 取等号）

平方均值：a2+b22≥ab\dfrac{a^2+b^2}{2}\geq ab

三、指数与对数函数

1. 指数运算公式

am⋅an=am+na^m\cdot a^n=a^{m+n}
(am)n=amn(a^m)^n=a^{mn}
(ab)n=anbn(ab)^n=a^nb^n
a−n=1an,a1n=ana^{-n}=\dfrac{1}{a^n},\quad a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a}

2. 对数运算公式

定义：log⁡aN=b⇔ab=N(a>0,a≠1,N>0)\log_a N=b \Leftrightarrow a^b=N(a>0,a\neq1,N>0)

运算法则：

log⁡a(MN)=log⁡aM+log⁡aN\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N
log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N
log⁡aMn=nlog⁡aM\log_a M^n=n\log_a M

换底公式：log⁡ab=log⁡cblog⁡ca(a>0,a≠1,  b>0,  c>0,c≠1)\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a} \quad (a>0,a\neq1,\;b>0,\;c>0,c\neq1)

推论：log⁡ab⋅log⁡ba=1\log_a b\cdot\log_b a=1

四、三角函数与解三角形

1. 同角三角函数基本关系

平方关系：sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1

商数关系：tan⁡α=sin⁡αcos⁡α(α≠kπ+π2)\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\alpha\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2})

2. 诱导公式

sin⁡(π−α)=sin⁡α,cos⁡(π−α)=−cos⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha,\quad \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha
sin⁡(π2−α)=cos⁡α,cos⁡(π2−α)=sin⁡α\sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha,\quad \cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha

3. 三角恒等变换

和差公式：

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta
cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta
tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}

二倍角公式：

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha
cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α=2cos⁡2α−1=1−2sin⁡2α\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha
tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan2\alpha=\dfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}

4. 解三角形公式

正弦定理：asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R（R为三角形外接圆半径）\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R（R 为三角形外接圆半径）

余弦定理：

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2=b^2+c^2-2bc\cos A
cos⁡A=b2+c2−a22bc\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}

三角形面积公式：S=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12acsin⁡BS=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ac\sin B

五、数列

1. 等差数列

通项公式：an=a1+(n−1)da_n=a_1+(n-1)d

推广通项：an=am+(n−m)da_n=a_m+(n-m)d

前 项和：Sn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)2dS_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d

2. 等比数列

通项公式：an=a1qn−1a_n=a_1q^{n-1}

推广通项：an=amqn−ma_n=a_mq^{n-m}

前 nn 项和：Sn={na1(q=1)a1(1−qn)1−q=a1−anq1−q(q≠1)S_n=\begin{cases}na_1 &(q=1)\\ \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{a_1-a_nq}{1-q} &(q\neq1)\end{cases}

六、立体几何与空间向量

1. 几何体表面积与体积

柱体体积：V=ShV=Sh

锥体体积：V=13ShV=\dfrac{1}{3}Sh

球的表面积：S=4πR2S=4\pi R^2

球的体积：V=43πR3V=\dfrac{4}{3}\pi R^3

2. 空间向量公式

向量模长：∣a∣=x2+y2+z2|\boldsymbol{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

向量点积：a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2

夹角公式：cos⁡⟨a,b⟩=a⋅b∣a∣∣b∣\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\dfrac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}

七、平面解析几何

1. 直线方程与距离公式

斜率公式：k=y2−y1x2−x1k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

点斜式：y−y0=k(x−x0)y-y_0=k(x-x_0)

两点距离：∣AB∣=(x2−x1)2+(y2−y1)2|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

点到直线距离：d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}

2. 圆的方程

标准方程：(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

3. 圆锥曲线核心公式

椭圆（a>b>0a>b>0）：x2a2+y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1，离心率 e=ca(0<e<1)e=\dfrac{c}{a}(0<e<1)，c2=a2−b2c^2=a^2-b^2

双曲线：x2a2−y2b2=1\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1，离心率 e=ca(e>1)e=\dfrac{c}{a}(e>1)，c2=a2+b2c^2=a^2+b^2

抛物线：y2=2px(p>0)y^2=2px(p>0)，焦点 (p2,0)(\dfrac{p}{2},0)，准线 x=−p2x=-\dfrac{p}{2}

八、导数及其应用

1. 基本求导公式

(C)′=0(C)'=0
(xμ)′=μxμ−1(x^\mu)'=\mu x^{\mu-1}
(sin⁡x)′=cos⁡x(\sin x)'=\cos x
(cos⁡x)′=−sin⁡x(\cos x)'=-\sin x
(ex)′=ex(e^x)'=e^x
(ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x}
(log⁡ax)′=1xln⁡a(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}

2. 导数四则运算

(u±v)′=u′±v′(u\pm v)'=u'\pm v'
(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'
(uv)′=u′v−uv′v2(v≠0)\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}(v\neq0)

九、概率与统计

1. 古典概型概率公式

P(A)=事件A包含的基本事件数试验的基本事件总数P(A)=\dfrac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}

2. 随机变量期望与方差

离散型随机变量期望：E(X)=∑i=1nxipiE(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i

方差：D(X)=∑i=1n(xi−E(X))2piD(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2p_i

二项分布：若 X∼B(n,p)X\sim B(n,p)，则 E(X)=npE(X)=np，D(X)=np(1−p)D(X)=np(1-p)

3. 样本数据公式

平均数：xˉ=1n(x1+x2+⋯+xn)\bar{x}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\dots+x_n)

样本方差：s2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

十、排列组合与二项式定理

计数原理专属公式，用于概率计算、二项式求值。

1. 排列组合公式

排列数：Anm=n!(n−m)!A_{n}^{m}=\dfrac{n!}{(n-m)!}

组合数：Cnm=n!m!(n−m)!C_{n}^{m}=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}

组合性质：Cnm=Cnn−mC_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}，Cnm+Cnm−1=Cn+1mC_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}=C_{n+1}^{m}

2. 二项式定理

(a+b)n=∑k=0nCnkan−kbk(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}

通项公式：Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}